Cos'è integrazione per parti?

Integrazione per Parti

L'integrazione per parti è una tecnica che permette di calcolare l'integrale di un prodotto di funzioni. Si basa sulla regola del prodotto per la derivazione. È particolarmente utile quando si ha a che fare con integrali del tipo ∫f(x)g'(x) dx, dove f(x) è facile da derivare e g'(x) è facile da integrare.

La formula di integrazione per parti è:

∫u dv = uv - ∫v du

Dove:

• u = una funzione di x (che si sceglie di derivare)
• dv = una funzione di x (comprensiva di dx) (che si sceglie di integrare)
• du = la derivata di u rispetto a x, moltiplicata per dx (du = u' dx)
• v = l'integrale di dv rispetto a x

Come scegliere u e dv:

La chiave del successo nell'integrazione per parti risiede nella scelta appropriata di u e dv. Una regola mnemonica comunemente usata è LIATE:

• Logaritmi
• Inverse trigonometriche
• Algebriche (polinomi)
• Trigonometriche
• Esponenziali

Questa regola suggerisce di scegliere u in base all'ordine delle funzioni nell'acronimo. Ad esempio, se l'integrale contiene sia una funzione logaritmica che una funzione polinomiale, la funzione logaritmica dovrebbe essere scelta come u.

Tuttavia, LIATE è solo una linea guida e non sempre porta alla soluzione più semplice. A volte, l'esperienza e l'intuizione sono necessarie.

Passi per l'integrazione per parti:

1. Identificare u e dv.
2. Calcolare du (derivata di u) e v (integrale di dv).
3. Applicare la formula: ∫u dv = uv - ∫v du.
4. Calcolare l'integrale ∫v du. Se necessario, applicare di nuovo l'integrazione per parti.
5. Aggiungere la costante di integrazione C.

Esempi:

Esempio semplice: ∫x cos(x) dx

• u = x (algebrica)
• dv = cos(x) dx (trigonometrica)
• du = dx
• v = sin(x)

∫x cos(x) dx = x sin(x) - ∫sin(x) dx = x sin(x) + cos(x) + C

Considerazioni importanti:

• In alcuni casi, potrebbe essere necessario applicare l'integrazione per parti più volte per risolvere un integrale. Questo si verifica quando l'integrale risultante ∫v du è ancora complesso.
• A volte, dopo aver applicato l'integrazione per parti, si ottiene un'equazione in cui l'integrale originale appare sia a sinistra che a destra. In questi casi, si può risolvere l'equazione per l'integrale desiderato.
• La scelta di u e dv può fare una grande differenza nella complessità dell'integrale risultante. Scegliere saggiamente è fondamentale.
• Comprendere il concetto di derivata e integrale è fondamentale per l'integrazione per parti.